Probabilidade — Regra de Laplace e Propriedades

Depois de definir corretamente o espaço amostral e os acontecimentos, o passo seguinte é aprender a calcular probabilidades. Neste artigo vamos abordar a regra de Laplace e algumas propriedades fundamentais das probabilidades.

1. Regra de Laplace

A regra de Laplace aplica-se quando todos os resultados do espaço amostral são equiprováveis, isto é, têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Neste caso, a probabilidade de um acontecimento A é dada por:

P(A) = (número de casos favoráveis) / (número de casos possíveis)

Exemplo:

Lança-se um dado equilibrado. Qual é a probabilidade de sair um número par?

• Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Casos possíveis: 6

• Acontecimento A = {2, 4, 6}

• Casos favoráveis: 3

Logo,

P(A) = 3 6 = 1 2

Exemplo:

Numa urna existem 4 bolas azuis e 6 bolas vermelhas, indistinguíveis ao tato. Retira-se uma bola ao acaso. Qual é a probabilidade de sair uma bola azul?

• Casos possíveis: 10

• Casos favoráveis: 4

P(A) = 4 10 = 2 5

2. Propriedade do Acontecimento Contrário

Dado um acontecimento A, chama-se acontecimento contrário (ou complementar), representado por A̅, ao conjunto de todos os resultados que não pertencem a A.

A probabilidade do acontecimento contrário é dada por:

P(A̅) = 1 − P(A)

Exemplo

Num lançamento de dado, seja A = “sair um número par”.

P(A) = 3 6 = 1 2
Então,
P(Ā) = 1 − 1 2 = 1 2

Esta propriedade é particularmente útil quando é mais simples calcular a probabilidade do acontecimento contrário do que a do acontecimento pedido.

3. Probabilidade da Diferença de Acontecimentos

Dados dois acontecimentos A e B, a diferença de A por B, representada por A \ B, é o acontecimento que ocorre quando A ocorre e B não ocorre.

A probabilidade da diferença é dada por:

P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B)

Exemplo

Lança-se um dado.

• A = “sair um número par” → {2, 4, 6}

• B = “sair um número maior que 4” → {5, 6}

Então:

• A ∩ B = {6}

Logo,

P(A \ B) = 3 6 − 1 6 = 2 6 = 1 3

4. Probabilidade da União de Acontecimentos

A união de dois acontecimentos A e B, representada por A ∪ B, corresponde ao acontecimento que ocorre quando A ocorre ou B ocorre (ou ambos).

A probabilidade da união é dada pela fórmula:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Caso particular — acontecimentos disjuntos

Se A e B forem disjuntos (não têm resultados comuns), então:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Exemplo

Num lançamento de dado, sejam:

• A = “sair número par” → {2, 4, 6}

• B = “sair número maior que 4” → {5, 6}

Temos:

P(A) = 3 6
P(B) = 2 6
P(A ∩ B) = 1 6
Logo,
P(A ∪ B) = 3 6 + 2 6 − 1 6 = 4 6 = 2 3

5. Resumo das Fórmulas Essenciais

• Regra de Laplace:
  P(A) = casos favoráveis / casos possíveis

• Acontecimento contrário:
  P(A̅) = 1 − P(A)

• Diferença de acontecimentos:
  P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B)

• União de acontecimentos:
  P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)